Математика возникла из самых насущных потребностей человека: надо было строить жилища, распределять земельные участки, вести финансовые расчеты, проектировать и рассчитывать различные характеристики машин и механизмов и т.п. И только одна область математики порождена пороками человечества, — она рождена азартными играми.
Поначалу рассматривались три задачи:
— подсчет числа различных возможных исходов при бросании нескольких игральных костей;
— раздел ставки между игроками, когда игра прекращена до финала;
— определение числа бросаний двух или нескольких костей, при котором число случаев, благоприятствующих выпадению хотя бы раз на всех костях одинаковых цифр (например, «шестерок»), было большим, чем число случаев, когда это событие не появится ни разу.
Пожалуй, первым правильный подсчет числа различных исходов при бросании трех игральных костей совершил в 960 г. епископ Виболд из города амрэ. Причем бросанию трех костей он придал религиозную трактовку – с появлением каждого набора чисел связывалась одна из добродетелей человека. Весьма многоречивое и красочное решение этой же проблемы содержится в поэме Ричарда де Форниваля «De vetula» (1227 г.) Форниваль привел таблицу, содержащую числа способов, которыми может быть получена любая возможная сумма очков на всех трех костях. Так, например, сумма 10 и 11 очков может выпасть 27 способами, 9 и 12 – 25 способами, 8 и 13 — 21 способами, 7 и 14 — 15 способами и т.д. Таким образом, при игре в три кости больше шансов выиграть, ставя на 10 или 11. Интересно отметить, что через 250 лет в Венеции была издана «Божественная комедия» Данте, где в комментарии к VI части «Чистилища», в которой говорится об игроке в кости, приводятся подсчеты шансов с существенными ошибками. В современной математической записи число исходов при бросании двух костей равно 62=36, трех костей — 63=216, n костей — 6n.
В 1526 г. итальянский ученый Дж. ардано написал « нигу об игре в кости», в которой были решены многие задачи, связанные с бросанием игральных костей и выпадением на них того или иного числа очков. В современной записи один из главных результатов ардано выглядит так: при бросании двух костей вероятность того, что
«шестерка» ни разу не выпадет, есть (5/6)2=25/36, а вероятность того, что «шестерка» выпадет хотя бы раз,
1–25/36=11/36. Соответственно, при бросании трех костей вероятность того, что «шестерка» выпадет хотя бы раз, 1–(5/6)3=91/216. ардано сделал попытку решить и задачу о разделе ставки, но его решение оказалось неверным.
Заслуживает внимания вклад в теорию вероятностей Галилео Галилея (1564–1642). Им была написана работа «О выходе очков при игре в кости», где были решены те же задачи, что и у ардано, но более изящным способом.
Наиболее полные результаты содержатся в переписке великих ученых Б. Паскаля (1623–1662) и П. Ферма (1601–1665), которых по справедливости считают основателями науки о вероятностях. Толчком к появлению интересов Паскаля к рассматриваемым задачам послужила встреча с одним из придворных французского короля — шевалье де Мере, который был страстным игроком. Он предложил Паскалю следующие вопросы:
Сколько раз надо подбросить две кости, чтобы число случаев, благоприятствующих выпадению хотя бы раз сразу двух шестерок, было больше, чем число случаев, когда две шестерки не появляются одновременно ни разу?
ак нужно разделить ставку между игроками, когда они прекратили игру, не набрав необходимого для выигрыша числа очков?
Паскаль решил эти задачи и послал решение Ферма, который предложил свое решение и обобщил результаты на случай n костей и n участников. В современном изложении решение первой задачи выглядит так: если одну кость бросить 4 раза, то вероятность того, что шестерка ни разу не выпадет, будет (5/6)4=0.482, а вероятность противоположного события (хотя бы раз выпадет) есть 1–0.482=0.518.
Две кости надо бросать 25 раз. Действительно, вероятность того, что две шестерки ни разу не выпадут, будет (35/36)25=0.494 , а вероятность противоположного события (хотя бы раз выпадут) есть 1–0.494=0.506.
Вторую задачу Паскаль рассмотрел на частном примере:
Два игрока играют до трех побед, ставка 64 пистоля. Игра прекращена, когда один выиграл две партии, а другой одну. Если силы игроков равны (вероятность выигрыша одной партии составляет 1/2), то для своей победы второй игрок должен выиграть две партии подряд, вероятность этого события (1/2)2=1/4, следовательно, вероятность выигрыша первого игрока составит 1–1/4=3/4. Значит, первый должен получить 48, а второй 16 пистолей. Если же первый выиграл две партии, а второй ни одной, то второму для победы надо выиграть три партии подряд, вероятность этого события (1/2)3=1/8, следовательно, вероятность выигрыша первого игрока составит 1–1/8=7/8. Тогда первый должен получить 56, а второй 8 пистолей.
Ферма решил проблему для произвольного числа игроков и разного числа оставшихся для выигрыша партий, в основе решения и Паскаля и Ферма лежит идея дележа ставки пропорционально вероятностям выигрыша каждым из игроков всей игры.
Игра в рулетку также не обойдена вниманием математиков. Легко доказывается, что больший шанс (в сочетании с выигрышем) дает ставка 1:35 на конкретное число (strait up), здесь средний выигрыш за одно бросание составляет 0.61, тогда как ставка на соседнюю пару чисел (split 1:17) имеет средний выигрыш 0.58, ставка на соседнюю тройку чисел (strit 1:11) имеет средний выигрыш 0.56, ставка на соседнюю четверку чисел (kare 1:8) имеет средний выигрыш 0.54, а ставки на шестерки чисел (six line 1:5), «чет-нечет» и «красное-черное» (1:1) имеют средний выигрыш 0.5.
Обладая достаточно большой суммой денег можно гарантированно выигрывать, придерживаясь определенной стратегии. Рассмотрим самый простой вариант. Например, ставить 1 фишку на «красное», в случае проигрыша ставку удваивать и продолжать ставить на «красное» до победы. Вероятность проиграть, например, 5 раз подряд составляет 1/32 (3%), проигрыш составит 1+2+4+8+16=31, но возможный весьма вероятный выигрыш в следующем кону составит 25=32, одна фишка будет в плюсе и надо начинать сначала. Вероятность проиграть 10 раз подряд составляет
1/1024 (менее 0.1%), проигрыш составит 1+2+4+8+16+…512=1023, но супер вероятный выигрыш в следующем кону составит 210=1024 и опять одна фишка будет в плюсе. Выигрыш небольшой, но весьма вероятный. Борясь с подобными стратегиями, в ряде казино вводят ограничения на максимальный размер ставки. Существуют и другие более сложные и эффективные стратегии, но, во-первых, они требуют много места для их описания и более глубоких математических познаний, а, во-вторых, публикация их в настоящей заметке чревата для автора, да и для всей редакции непредсказуемыми последствиями.
Теория вероятностей стала широко применяться в демографии, страховании, экономике, военном деле и т.д. Сегодня она так широко используется, что практически невозможно определить область деятельности человека, где бы она не использовалась, но об этом в наших следующих заметках.
Популярные записи
